设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。

• Aab
• B-ab
• Cb
• Da

环R中满足ab∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）

Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）

环的概念

Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。

• A2
• B4
• C1
• D3

在模5环中可逆元有（D）个。

• A3
• B1
• C2
• D4

设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。

• A-a
• B-e
• Ce
• Da

一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）

环的零因子是一个零元。（错误）

域的概念

不属于域的是（A）。

• A(Z，+，·)
• B(C，+，·)
• C(R，+，·)
• D(Q，+，·)

设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。

• A函数
• B域
• C积
• D元

最小的数域是（A）。

• A有理数域
• B整数域
• C实数域
• D复数域

整环一定是域。（错误）

域必定是整环。（正确）

整数环的结构（一）

对于a，b∈Z，如果有c∈Z，使得a=cb，称b整除a，记作（C）。

• Ab/a
• Bb&a
• Cb|a
• Db^a

不属于整环的是（B）。

• AZ[i]
• BZ6
• CZ
• DZ2

在整数环中没有（A）。

• A除法
• B加法
• C乘法
• D减法

整数环是具有单位元的交换环。（正确）

整环是无零因子环。（正确）

整数环的结构（二）

能被3整除的数是（A）。

• A102
• B122
• C92
• D112

不能被5整除的数是（D）。

• A220
• B425
• C115
• D323

a与0 的一个最大公因数是（D）。

• A2a
• B1
• C0
• Da

整环具有的性质包括（ACD）。

• A有单位元
• B有零因子
• C无零因子
• D交换环

在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）

整除关系是等价关系。（错误）

整数环的结构（三）

gac(234，567)=（C）

• A12
• B6
• C9
• D3

对于a，b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。

• Ad是q与r的一个最大公因数
• Bd是b与r的一个最大公因数
• Cd是b与q的一个最大公因数
• Dd是a与r的一个最大公因数

若a=bq+r，则gac(a，b)=（C）。

• Agac(b，q)
• Bgac(a，r)
• Cgac(b，r)
• Dgac(a，q)

对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数。（正确）

整数环的结构（四）

gcd(56，24)=（A）

• A8
• B2
• C4
• D1

如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。

• A除数和0
• B余数和1
• C被除数和余数
• D除数和余数

对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数可以用（C）。

• A分解法
• B列项相消法
• C辗转相除法
• D十字相乘法

计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）

用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）

整数环的结构（五）

若a，b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。

• A3
• B5
• C4
• D2

若a与b互素，有（B）。

• A(a，b)=a
• B(a，b)=1
• C(a，b)=b
• D（a，b）=0

由b|ac及gac(a，b)=1有（C）。

• Aa|c
• Bb|a
• Cb|c
• Da|b

在Z中，若a|c，b|c，且(a，b)=1则可以a|bc.（错误）

任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）

整数环的结构（六）

p是素数，若p|ab，(p，a)=1可以推出（C）。

• A(p，ab)=1
• B(p，b)=1
• Cp|b
• Dp|a

若（a，c）=1，(b，c)=1则（ab，c）=（D）。

• Ab
• Bc
• Ca
• D1

对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p，a）等于（A）。

• A1或p
• Bp
• C1，a，pa
• D1

所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）

a与b互素的充要条件是存在u，v∈Z使得au+bv=1。（正确）

整数环的结构（七）

素数的特性之间的相互关系是（C）。

• A单独关系
• B不可逆
• C等价关系
• D不能单独运用

p与任意数a有（p，a）=1或p|a的关系，则p是（D）。

• A复数
• B实数
• C整数
• D素数

p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。

• A复数
• B实数
• C整数
• D素数

• A有理数
• B无理数
• C素数
• D合数

p是素数则p的正因子只有P。（错误）

合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）

Zm的可逆元（一）

Z6的可逆元是（A）。

• A1
• B3
• C2
• D0

Z8中的零因子有（C）。

• A1357
• B5678
• C2460
• D1234

在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。

• A互素
• B相反数
• C互合
• D不互素

Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）

p是素数，则Zp一定是域。（正确）

Zm的可逆元（二）

不属于Z7的可逆元是（A）。

• A7
• B3
• C5
• D1

Z10的可逆元是（C）。

• A10
• B5
• C7
• D2

在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。

• A38
• B19
• C91
• D34

Z91中，34是可逆元。（正确）

Z81中，9是可逆元。（错误）

模P剩余类域

任一数域的特征为（D）。

• A1
• B无穷
• Ce
• D0

在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。

• A错误
• Bp
• C任意整数
• D0

在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。

• A合数
• B偶数
• C素数
• D奇数

任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）

设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）

域的特征（一）

域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。

• Ap
• Ba
• C1
• D0

Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1

• A

p

• B

• C

kp

• D

特征为2的域是（A）。

• AZ2
• BZ5
• CZ
• DZ3

设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）

设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）

域的特征（二）

设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）

• A0
• Bp
• C-1
• D1

• A67
• B69
• C66
• D68

设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。

• A所有合数
• BP
• C所有素数
• Da

设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）

中国剩余定理（一）

剩余定理是（D）人发明的。

• A古埃及
• B古罗马
• C古希腊
• D中国

中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。

• A中值定理
• B儒歇定理
• C韦达定理
• D孙子定理

首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。

• A南宋
• B三国
• C汉朝
• D唐朝

“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）

一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）

中国剩余定理（二）

n被3，5，11除的余数分别是1，3，3且n小于100，则n=（D）。

• A56
• B60
• C54
• D58

n被3，4，7除的余数分别是1，3，5且n小于200，则n=（B）。

• A177
• B187
• C170
• D180

最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。

• A秦九识
• B孙武
• C牛顿
• D祖冲之

一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）

欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）

欧拉函数（一）

Z3的可逆元个数是（A）。

• A2
• B0
• C3
• D1

Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。

• A1
• Bp
• Cp-1
• D0

φ(m)等于（D）。

• A集合{1，2…m-1}中奇数的整数的个数
• B集合{1，2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
• C集合{1，2…m-1}中偶数的整数的个数
• D集合{1，2…m-1}中与m互素的整数的个数

求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）

在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）

欧拉函数（二）

φ(4)=（A）

• A2
• B4
• C3
• D1

当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。

• A10
• B7
• C8
• D2

设p为素数，r为正整数，Ω={1，2，3，…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。

• Ap
• Br
• Cpr
• Dpr-1

φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）

设p是素数，则φ(p)=p。（错误）

欧拉函数（三）

φ(12)=（B）

• A2
• B4
• C3
• D1

φ(10)=（B）

• A2
• B4
• C3
• D1

Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。

• A算术积
• B直和
• C集合
• D平方积

φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）

设m1，m2为素数，则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）

欧拉函数（四）

Φ(3)Φ(4)=（D）

• AΦ(3)
• BΦ(4)
• CΦ(24)
• DΦ(12)

Φ(7）=（D）

• AΦ(1)Φ(6)
• BΦ(2)Φ(5)
• CΦ(3)Φ(4)
• DΦ(2)Φ(9)

有序元素对相等的映射是一个（D）。

• A散射
• B不对等映射
• C不完全映射
• D单射

Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）

Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）

欧拉函数（五）

a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。

• Aσ（a）是Zm的元素
• Bσ（a）是Zm1的元素
• Cσ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
• Dσ（a）是Zm2的元素

若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。

• A双射
• B不完全映射
• C互补映射
• D集体映射

单射在满足（D）时是满射。

• A两集合元素不相等
• B两集交集为空集
• C两集合交集不为空集
• D两集合元素个数相等

属于单射的是（A）。

• Ax →2x + 1
• Bx →x^3 − x
• Cx → e^x
• Dx → ln x

数学上可以分三类函数包括（ACD）。

• A单射
• B反射
• C满射
• D双射

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）

映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）

欧拉函数（六）

根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。

• A480
• B1800
• C180
• D960

属于双射的是（A）。

• Ax →2x + 1
• Bx → cosx
• Cx → e^x
• Dx → x^2

不属于满射的是（B）。

• Ax →2x + 1
• Bx → x^2
• Cx → x-1
• Dx → x+1

既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）

x → ln x不是单射。（错误）

环的同构（一）

环R与环S同构，若R是除环则S（A）。

• A一定是除环
• B不一定是除环
• C可能是除环
• D不可能是除环

环R与环S同构，若R是域则S（A）。

• A一定是域
• B不一定是域
• C可能是域
• D不可能是域

环R与环S同构，若R是整环则S（A）。

• A一定是整环
• B不一定是整环
• C可能是整环
• D不可能是整环

同构映射有保加法和除法的运算。（错误）

环R与环S同构，则RS在代数性质上完全一致。（正确）

环的同构（二）

Z7中4的平方根有几个（A）。

• A2
• B0
• C3
• D1

Z77中4的平方根有（B）个。

• A2
• B4
• C3
• D1

二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。

• A一个
• B不存在
• C无穷多个
• D两个

在Z77中，6是没有平方根的。（正确）

Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）

Z﹡m的结构（一）

Z12*=（B）

• A{3，5，7，11}
• B{1，5，7，11}
• C{1，5，9，11}
• D{1，2，5，7}

当群G满足（C）时，称群是一个交换群。

• A减法交换律
• B加法交换律
• C乘法交换律
• D除法交换律

非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。

• A

无数个

• B

有且只有1一个

• C

• D

无法确定

群具有的性质包括（ABC）。

• A

结合律

• B

有逆元

• C

有单位元

• D

分配律

在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）

Z12*是保加法运算。（错误）

Z﹡m的结构（二）

Z12*的阶为（B）。

• A8
• B4
• C6
• D2

若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。

• A任意次方
• B3
• C6
• D1

Zm*的结构可以描述成（B）。

• A阶为φ(m)的交换环
• B阶为φ(m)的交换群
• C阶为φ(m)的交换类
• D阶为φ(m)的交换域

Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）

Zm*是一个交换群。（正确）

Z﹡m的结构（三）

Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。

• A4
• B1
• C3
• D6

Z5*中2的阶是（B）。

• A2
• B4
• C3
• D1

Z5*中3的阶是（B）。

• A2
• B4
• C3
• D1

设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）

在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）